Zastosowania całek oznaczonych w fizyce

Podamy teraz niektóre z zastosowań całek oznaczonych w fizyce. Załóżmy, że pewien punkt \( A \) porusza się w momencie \( t_0 \)
z prędkością chwilową opisaną równaniem \( v_0=v(t_0) \). Zmienną prędkość punktu \( A \) w całym czasie poruszania się tego punktu określa więc pewna funkcja \( v(t) \).

Twierdzenie 1: o drodze przebytej przez punkt materialny w przedziale czasu

Drogę \( s \) przebytą przez punkt \( A \) w pewnym przedziale czasowym \( t\in[t_1, t_2] \) ze zmienną prędkością \( v(t) \) wyrażamy za pomocą wzoru

\( s = \int\limits_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt. \)

Przykład 1:

Pociąg zaczyna nagle hamować w chwili \( t_0=0 \) i jego prędkość w chwili \( t \) wynosi \( v(t)=\big(20 - 5t^{\frac{2}{3}}\big) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \) dopóki się nie zatrzyma. Obliczyć drogę hamowania.
Najpierw wyznaczmy czas, po którym pociąg się zatrzymał, czyli osiągnął prędkość \( v(t) = 0 \)

\( v(t) = 20 - 5t^{\frac{2}{3}} = 0. \)

Rozwiązując ostatnie równanie otrzymujemy

\( \begin{aligned} t^{\frac{2}{3}} &= 4, \\ t &= 8, \end{aligned} \)

więc pociąg zatrzyma się po \( 8 \) sekundach. Teraz wystarczy zastosować wzór na długość drogi poruszającego się obiektu:

\( s=\int\limits_{0}^{8} \big(20 - 5t^{\frac{2}{3}}\big) \,dt = \Big(20t - 5 \cdot \frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}} \Big)\Big|_0^8 = 160 - 3 \cdot 32 = 64. \)

Zatem droga hamowania to 64 m.

Twierdzenie 2: o pracy wykonanej przy przesuwaniu punktu materialnego wzdłuż prostej

Pracę \( W \) wykonaną przy przesuwaniu pewnego obiektu ze zmienną siłą \( F(x) \) po prostej \( OX \), pokrywającej się z kierunkiem siły, od punktu \( x=a \) do punktu \( x=b \) wyrażamy wzorem

\( W=\int\limits_{a}^{b} F(x)\,dx. \)

Podamy teraz wzory na obliczanie momentów statycznych i momentów bezwładności oraz środka ciężkości trapezu krzywoliniowego \( T \):

\( T =\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: \, 0 \le y \le f(x), \, a \le x \le b\}. \)

Załóżmy, że trapez \( T \) jest figurą jednorodną (masa jest rozłożona na nim równomiernie), której gęstość powierzchniowa \( \rho \) (tj. masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała.

Twierdzenie 3: o momentach statycznych i momentach bezwładności trapezu krzywoliniowego

Moment statyczny \( M_x \) i moment bezwładności \( I_x \) trapezu \( T \) względem osi \( OX \) wyrażaja się za pomocą wzorów

\( M_x=\frac{1}{2} \rho \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx, \qquad I_x = \frac{1}{3} \rho \int\limits_{a}^{b} f^3(x)\,dx. \)

Moment statyczny \( M_y \) i moment bezwładności \( I_y \) trapezu \( T \) względem osi \( OY \) wyrażają się za pomocą wzrorów

\( M_y=\rho \int\limits_{a}^{b}x f(x)\,dx, \qquad I_y = \rho \int\limits_{a}^{b}x^2 f(x)\,dx. \)

Twierdzenie 4: o środku ciężkości trapezu krzywoliniowego

Środek ciężkości \( C = (x_C, y_C) \) trapezu \( T \), którego pole wynosi \( S=\int\limits_a^b\,f(x) \, dx \) jest punktem o współrzędnych zadanych wzorami

\( x_C=\frac{M_y}{\rho S}, \quad y_C=\frac{M_x}{\rho S}. \)

Wniosek 1: o środku ciężkości figury płaskiej

Środek ciężkości figury płaskiej \( A \) danej następująco:

\( A=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: \, f_1(x)\le y \le f_2(x), \, a \le x \le b\} \)

o polu równym \( S \) ma współrzędne

\( x_C=\frac{\int\limits_{a}^{b}x (f_2(x) - f_1(x))\,dx}{S}, \quad y_C=\frac{\frac{1}{2} \int\limits_{a}^{b} \big(f^2_2(x)- f^2_1(x)\big)\,dx}{S}. \)

Przykład 2:

Znajdźmy momenty bezwładności (względem obu osi układu współrzędnych) oraz środek ciężkości jednorodnego trójkąta
o gęstości \( \rho = 1, \) którego wierzchołki mają współrzędne \( A=(0,0), B=(2, 0), C=(0, 4) \).
Dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych zawartych w osiach układu i przeciwprostokątnej zawartej
w prostej \( y=-2x+4 \). Możemy go zatem zapisać w następujący sposób:

\( T =\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: \, 0\le y \le -2x+4, \, 0 \le x \le 2\}. \)

Policzmy więc momenty bezwładności zbioru \( T \), korzystając z odpowiednich wzorów:

\( \begin{aligned} I_x &= \frac{1}{3} \int\limits_{0}^{2} (-2x+4)^3\,dx = \frac{1}{3} \Big(-\frac{1}{8}\Big)(-2x+4)^4\Big|_0^2= -\frac{1}{24} (-4^4)= \frac{32}{3}, \\ I_y &= \int\limits_{0}^{2}x^2 (-2x+4)\,dx = \int\limits_{0}^{2}(-2x^3+4x^2)\,dx = \Big(-\frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3\Big)\Big|_0^2 = -\frac{1}{2}\cdot 2^4 + \frac{4}{3} \cdot 2^3 = \frac{8}{3}. \end{aligned} \)

Dla obliczenia współrzędnych środka ciężkości potrzebujemy znaleźć momenty statyczne względem obu osi oraz pole powierzchni trójkąta \( T \). Pamiętamy, że pole powierzchni trójkąta \( T \) możemy wyznaczyć za pomocą całki:

\( S=\int\limits_0^2\,(-2x+4)\,dx = (-x^2+4x)\Big|_0^2 = -4 + 8 = 4, \)

natomiast momenty statyczne wyznaczamy ze wzorów

\( \begin{aligned} M_x &=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2} (-2x+4)^2\,dx =\frac{1}{2} \Big(\frac{4}{3}x^3 - 8x^2 + 16x\Big)\Big|_0^2=\frac{1}{2}\Big(\frac{4}{3}2^3 - 32 + 32\Big) = \frac{16}{3},\\ M_y &= \int\limits_{0}^{2}x (-2x+4)\,dx = \int\limits_{0}^{2}(-2x^2+4x)\,dx = \Big(-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2\Big)\Big|_0^2 =-\frac{16}{3} + 8 = \frac{8}{3}. \end{aligned} \)

Środek ciężkości jest więc punktem o współrzędnych

\( C=\Big(\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{4}, \frac{16}{3}\cdot \frac{1}{4}\Big) = \Big(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\Big). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka